Können wir die Unendlichkeit erfassen?

[Pluto]

Nirgendwo ist ein Unendlichkeits-Objekt

Dann kannst du sicher das Ende des Raumes bekannt geben?

Nochmal: Eine Definition, die irgendwas mit "nicht enden" enthält, ist zur Beschreibung von Unendlichkeit ungeeignet.
Eine solche Definition kann naturgemäß nur die Abzählbarkeit beschreiben.

Ja und...?
Für mich bedeutet nicht enden wollen, "Unendlichkeit". Nicht abzählbar und unendlich haben die gleiche Bedeutung.

[ThomasM]

Für mich bedeutet nicht enden wollen, "Unendlichkeit". Nicht abzählbar und unendlich haben die gleiche Bedeutung.

Aus der Mathematik wissen wir, dass es mindestens zwei Typen von Unendlich gibt, abzählbar unendliche Mengen und überabzählbar unendliche Mengen.
Es gab lange den Streit, ob diese beiden Typen von Mengen gleich mächtig sind, inzwischen (wenn ich mich recht erinnere) hat man nachgewiesen (oder zumindest sehr plausibel gemacht), dass die überabzählbar unendliche Mengen mächtiger sind als die abzählbar unendlichen.

Übrigens darf man sich in diesem Gebiet nicht zu sehr auf seine "endliche Intuition" verlassen. Hier gibt es ein paar merkwürdige Eigenschaften https://de.wikipedia.org/wiki/Unendliche_Menge .

[SilverBullet]

Aus der Mathematik wissen wir, dass es mindestens zwei Typen von Unendlich gibt, abzählbar unendliche Mengen und überabzählbar unendliche Mengen.

Das ist eine ungünstige Formulierung.

Der Unterschied, zwischen Handlung A, die nicht enden soll und Handlung B, die nicht enden soll, kann in keiner Weise am Zusammenhang des Nicht-Endens festgemacht werden – keine Chance.
Für „unendlich“ ist es vollständig egal, was verlangt wird – gerne auch Sackhüpfen.

Der Unterschied von „abzählbar“ und „überabzählbar“ ist in der Handlungsauflage begründet.

Der Begriff „Menge“ darf zudem nicht als Objekt eingesetzt werden, denn es ist das Bilden einer Ansammlung. Nur auf diese Weise macht es Sinn von „endlichen“ und „unendlichen Mengen“ zu sprechen.
Man ist irgendwann fertig („endlich“) oder man ist nie fertig („unendlich“).
Das Nicht-Fertig-Werden kann aber nicht als Unterschiedsmerkmal zwischen zwei nicht-fertig-werdenden Handlungen verwendet werden.

„abzählbar“ - Beispiel:
man bewegt sich in immer dem gleichen Abstand (also genau bestimmbar) voran und zwar ohne Ende -> „unendlich“

„überabzählbar“ - Beispiel:
man bewegt sich zwar immer in eine Richtung, aber man variiert den Abstand („nicht abzählbar“), so dass man nie eine Grenze erreicht, wobei die zusätzliche Idee ist, dass dies für nicht-endend viele Grenzen gilt, also jeder variierte Abstand könnte auch wiederum als nie erreichte Grenze verwendet werden -> „unendlich“.

Man kann ohne Probleme feststellen, dass die Handlungsauflagen unterschiedlich sind.
„abzählbar: gleichförmige Bewegung“ (die Handlung ist unabhängig von der Situation)
<->
„überabzählbar: variabel unterteilende Bewegung“ (die Handlung ist abhängig von der Situation)

[Janina]

Nochmal: Eine Definition, die irgendwas mit "nicht enden" enthält, ist zur Beschreibung von Unendlichkeit ungeeignet.
Eine solche Definition kann naturgemäß nur die Abzählbarkeit beschreiben.

Ja und...?
Für mich bedeutet nicht enden wollen, "Unendlichkeit". Nicht abzählbar und unendlich haben die gleiche Bedeutung.

Nein.
Durch nicht endende Abzählung erreichst du nur abzählbar unendliche Mengen. Eine überabzählbare Menge ist dadurch nicht beschreibbar.

[Claymore]

Das Riemann-Integral kann ohne Modifikation nicht mit “Unendlich” als Integrationsgrenze umgehen; dies wird über eine Grenzwertbildung, die man das uneigentliche Riemann-Integral nennt, eingeführt. Jetzt hier in diesem Fall definiert man also f(z) := ₀∫ᶻ e⁻ˣ dx und der Grenzwert von f(z) für z → ∞ ist dann der Wert des angesprochenen Integrals.

Aha, man wechselt also von einem „Umgang mit Unendlich“ zu einem Umgang mit einem Grenzwert, also ist es kein Umgang mit Unendlich, denn nirgendwo wird „F(unendlich)=“ ermittelt.

Schön, dass du „selbst“ darauf gekommen bist

Ähm, erinnere dich doch lieber mal daran, was ich dazu wirklich geschrieben habe:

Ganz einfach: es gibt die Funktionen nicht.

Was, es gibt keine Funktionen? Oder keine Funktionen mit unendlichem Definitionsbereich in der SilverBullet’schen Mathematik? Was machen wir dann mit sowas wie ₀∫∞ e⁻ˣ dx = 1 …?

Es ging hier nicht um den Umgang mit “Unendlich”. Sondern darum, dass man die Funktion e⁻ˣ als ganzes erfassen muss, um das Riemann-Integral ₀∫∞ e⁻ˣ dx zu berechnen.

Das habe ich dir jetzt im Detail vorgeführt:

…dass der Grenzwert einer reellen Funktion f(z) gegen Unendlich L ist. Ganz einfach ist das so definiert, dass für jedes ε > 0 eine Zahl S existiert, so dass |f(z) - L| < ε für alle z > S.

Mit f(z) = -e⁻ᶻ + 1 können wir sagen, dass L = 1 ist. Und tatsächlich erfüllt dies die obige Definition, wenn wir S(ε) = -ln(ε) setzen. Denn das lässt sich umformen zu z > -ln(ε) ⇒ e⁻ᶻ < ε ⇒ |-e⁻ᶻ| < ε ⇒ |-e⁻ᶻ + 1 - 1| < ε ⇒ |f(z) - L| < ε. Fertig.

Ist dir klar, dass man hierfür u.a. wissen muss, dass -ln(z) die Umkehrfunktion von e⁻ᶻ ist, ja, die Umkehrfunktion auf ganz ℝ sein muss, oder man für die Umformung der Ungleichung wissen muss dass e⁻ᶻ streng monoton fallend auf ganz ℝ ist, damit hier die “für alle ε > 0”-Argumentation überhaupt erfolgreich sein kann?

Die Verstandesfähigkeit, die man hier benötigt, ist dass man die entsprechende reelle Funktion f(z) in ihrer Gesamtheit als Konzept fassen kann.

Falsch, „Gesamtheit“ wäre das Durchlaufen, denn wenn dieses Nicht-Durchlaufen bereits „Gesamtheit“ wäre, was wäre dann das Durchlaufen?

Durchlaufen ist Durchlaufen. Ich habe keine Ahnung warum du darauf so fixiert bist. Was sollte Durchlaufen überhaupt mit Erfassen zu tun haben?

Man hat in der obigen Berechnung lediglich eine Abkürzung eingeführt.
Motto:
„egal für welche Situation die Formel eingesetzt wird, der Wert von F(unendlich) kann relativ dazu wie der Wert 0 angesehen werden“.

=> Du möchtest dir hingegen eine "Unendlichkeits"-Fähigkeit erschwindeln.

Nein, du verstehst nur wieder gar nichts und hast auch den Kontext komplett vergessen.

Nun gibt es aber auch das Lebesgue-Integral. Dieses kann durchaus mit unendlichen Grenzen direkt umgehen.
…
Und dann den Grenzwert der Folge ihrer (auf offensichtliche Weise definierten) Integrale berechnen.

Dasselbe in grün.

Naja, also das Lebesgue-Integral kann mit sog. numerischen Funktionen umgehen, die Unendlich als Funktionswert haben können, d.h. f: Ω → ℝ ∪ {-∞, +∞} – mit der Rechenregel 0 â‹… ±∞ = 0.

Das ist letztlich die Konsequenz davon, dass das Lebesgue-Integral im Gegensatz zum Riemann-Integral ohne extra Grenzwertbildung für die Integration über ganz ℝ auskommt. Denn die anschauliche Interpretation von ₀∫∞ e⁻ˣ dx ist die Fläche eingeschlossen von der Kurve und der y-Achse von 0 bis 1 und der positiven x-Achse. ₀∫¹ -log(x) dx ist das ganze gespiegelt an der 1. Winkelhalbierenden. Und -log(0) = +∞, aber damit kommt das Lebesgue-Integral klar.

Was ist also mit irrationalen Zahlen? Sind das auch auch “nicht durchführbare Vorgänge” und auf sie bezogene Gleichheitszeichen sind “pseudo”?

Selbes Spiel, du fragst nach „exp(i Ï€) = -1“, also gibst du hierfür den Rechenweg an und zeigst auf, über welche Fähigkeit du wann verfügen möchtest, so dass du mit Unendlichkeit umgehen kannst.

Ist es nun ein pseudo-Gleichheitszeichen oder nicht?

“Verhältnis” in der Mathematik bedeutet eine Quotientenbildung.

Kann man eine Gleichung so umstellen, dass man einen Quotienten bekommt?
Falls ja, dann steckt sehr wohl ein Quotient, also ein Verhältnis, drin.

Bei einer Gleichung, wenn man damit einen Ausdruck der Form “Rechte Seite = Linke Seite” versteht, gilt das. Nur so eine Gleichung taucht hier nirgends auf – es geht um eine Bijektion.

Irgendwoher muss es ja schliesslich kommen, dass man zwei Zahlenkolonnen zur Veranschaulichung übereinander schreibt und damit das Verhältnis der Entwicklung präsentiert.

Es geht aber um das Diagonalargument und nicht um das Bild weiter unten, an dem man überhaupt nicht erkennen kann, dass es sich um eine Bijektion handelt.

Der ganze Sinn von deinen “Verhältnissen” war doch aber, dass man bloß “lokale Entwicklungen” in Bezug zueinander stellt. Lokal ist das 1. Diagonalverfahren aber nur scheinbar (von einer sehr naiven Sichtweise aus). Denn der Beweis, dass die Funktion tatsächlich surjektiv ist, ist “global”, er betrifft die gesamte Menge: Kein q ∈ â„š wird von der Funktion “ausgelassen” – auch nicht q = 2276855641/2276855657.

Du hast dir doch nicht etwa dieses konkrete „q“ ganz frisch hergeleitet – oder doch?
Zeig den Beweis und zeig wo er explizit „q = 2276855641/2276855657“ enthält und wo die anderen „q“ aufgelistet sind.

Ach ja, g(11803382771415771524972473817) = 2276855641/2276855657. Ich kann auch noch die Umkehrfunktion von g posten. Aber selbstverständlich taucht 2276855641/2276855657 nicht explizit als Zahl in einer unendlichen Liste auf.

Reden wir doch mal Tacheles:
Du meinst anscheinend, dass die Methoden der Mathematik um eine Aussage allgemeingültig für alle Zahlen zu beweisen – wie z.B. vollständige Induktion – irgendwie nicht halten, was sie versprechen?

Und auf das 2. Diagonalargument gehst du ja überhaupt nicht ein.

1.
Auch hier wird mit der optischen Aufteilung eines endlichen Teils und der „Unendlichkeits“-Andeutung in Form von „…“ gearbeitet.
2.
Durch die Darstellung einer „Ziffern“-Anordnung mit Zeilen- und Flächenausdehnung und der Bildung der Diagonalen wird klar ein optisches Verhältnis gebildet, das die Aussage „es liegen viele Zahlen vor, aber dazwischen liegt immer noch eine, die nicht vorgegeben ist“ präsentiert.
Das Diagonal-Flächenverhältnis wird eindeutig endlich, lokal angegeben und mit „…“ fortgesetzt, mehr nicht.

Nein, das ganze ist ein Widerspruchsbeweis. “Angenommen es existiert eine Bijektion” – und dann konstruiert man eine reelle Zahl, auf die die gegebene Funktion keine natürliche Zahl abbildet (ergo keine Bijektion). Was hat das bitte mit “Flächenverhältnissen” zu tun?

Niemand bestreitet hier, dass “unendlich” das gleiche wie “nicht endlich” ist. Sondern nur, dass man aus dem Verständnis “nicht” und “endlich” nicht alles folgern kann, was man über “unendlich” weiß. I.Ü. ist das optische Schema in der Wikipedia, um Cantor’s Diagonalargumente zu veranschaulichen, selbstverständlich kein mathematisch 100% sauberer Beweis; ich habe das nur gepostet, weil ich dachte, dass du in der Lage bist, das zu verstehen.

Das nennt man „Schwanz einziehen“ – dein „Schiffchen kommt ins Kentern“

Nana, nun klopfst du leider schon seit Wochen solche Sprüche und trotz all deines Kampfesgeist ist nichts dabei herausgekommen. Wie schade.

[Claymore]

Ganz einfach, die korrekte Formulierung müsste lauten „man kann (innerhalb der mathematischen Zusammenhänge) zu jeder vorliegenden natürlichen Zahl durch die Operation +1 eine weitere natürliche Zahl bestimmen“.
Die Betonung liegt hier auf dem Vorgang, während es bei deiner Aussage um „das Vorliegen einer (objekthaften) Existenz“ geht

–> Bei dir stimmt die Formulierung nicht.
Dies hat zur Folge, dass für einen korrekten Umgang zuerst ein Übersetzungsprozess durchgeführt werden müsste – sehr ungeschickt, was man eindrucksvoll an deiner „Gesamtheit“ ablesen kann.
Ich muss dich deshalb bei deinen obigen Fallbeispielen explizit auf die Einzelschritte festnageln, bevor du einsiehst, dass du einen Vorgang durchlaufen müsstest und es eben nicht um eine „vollständige Gesamtheit“ geht.

Das ist bloß deine seltsame Privat-Philosophie. Und noch mal zu mitschreiben: Die teile ich nicht.

Du bist doch gar nicht in der Lage ein schlüssiges Argument zu konstruieren – deine ganzen Posts basieren auf versteckten petitiones principii. Niemand weiß, was “objekthafte Existenz” in deiner Privat-Philosophie überhaupt bedeuten soll. Du lieferst hierfür keine saubere Kriterien, geschweige denn Begründungen für dieselben. Es läuft alles bloß auf deine ganz persönlichen Vorurteile hinaus, die du zum Alleinkriterium erhebst.

Schau dir das Unendlichkeitsaxiom der Mengenlehre an – das postuliert die Existenz einer induktiven (unendlichen) Menge, die als Gesamtheit vorliegt.

Nicht Vorgang, sondern Menge.

Das ist anerkannte Mathematik, egal ob dir das persönlich gefällt oder nicht.

Es gilt: „Wer es nicht im Köpfchen hat, hat es in den Beinchen“
Ich habe dir wiederholt geraten, die Unendlichkeit zu durchlaufen.

„Unendlich“ ist (in der Mathematik) keine Zahl, sondern die Anweisung einen Vorgang (der oft „schnell“ erklärt ist) immer wieder durchzuführen und nicht damit aufzuhören.

Nein, das ist deine Privat-Mathematik*.

* versuch mich eines besseren zu belehren und “‘Unendlich’ ist in der Mathematik die Anweisung einen Vorgang immer wieder durchzuführen und nicht damit aufzuhören” mit einer Quelle zu belegen.

Zitat-Claymore
Nur weil Gauß meinte, dass Unendlich selbst nicht zu den gewöhnlichen Zahlen gehört, d.h. es keine Zahl gibt, die größer ist als alle anderen, kann ich mir nicht vorstellen, dass er etwas dagegen gehabt hätte, die natürlichen Zahlen als unendliche Menge zu bezeichnen.

Siehst du:
„Gauß“ soll „nur gemeint“ haben und er wäre jetzt bestimmt „weiter“ und hätte am Ende doch „unendlich“ als vorhandenes Objekt behandelt.

Ich schreibe “nur weil Gauß meinte…” und du unterstellst mir ich hätte geschrieben “Gauß hat nur gemeint…”.
Hallo?
Erkennst du da wirklich keinen Unterschied? Ist dein Textverständnis wirklich so katastrophal, dass es nicht einmal dafür reicht?

Falls dich das so brennend interessiert, lies es dir doch in deiner geliebten Autorität und Quelle Nummer 1 durch: Wikipedia: Controversy over Cantor's theory.

Und deine Gauß-Rezeption ist auch eher dürftig, da du dich so gar nicht mit dem Kontext des Zitats beschäftigen wolltest.

Gauss wandte sich an dieser Stelle ganz zu Recht gegen Schumachers Gebrauch unendlich langer Strecken, mit dem Schumacher das Parallelenpostulat beweisen zu können glaubte. Man sollte dieses Zitat also vorsichtiger bewerten, als das bisher zumeist geschehen ist (cf. auch [473]). Möglicherweise hätte Gauss gegen Cantors Gebrauch aktual unendlicher Mengen gar nichts einzuwenden gehabt. Wie dem auch sei, auf jeden Fall ist Cantor der erste gewesen, der das aktual Unendliche mathematischen Untersuchungen zugänglich gemacht hat.

Quelle [473] ist übrigens ein interessanter Artikel “Gauss on infinity” von W.C. Waterhouse, den ich dir sehr ans Herz lege.

Weiter will ich darauf allerdings nicht eingehen – es ist Mathematikgeschichte.

Und außerdem reicht schon das potentiell Unendliche:

Nein, „potentiell Unendlich“ ist ein „weisser Schimmel“, mehr nicht (geboren in der Philosophie - wo sonst ).

Du willst hier lediglich deinen falschen Umgang mit dem Wort „unendlich“ kaschieren, weil es für dein „vollständig“ immer enger wird – das ist aber lediglich „ein klein wenig Rauch“ zusätzlich zur „magischen Heizdecke“, mehr nicht.

Wenn du dir doch nur mal deine gesammelten Unsachlichkeiten sparen würdest – da wäre schon viel gewonnen.

Außerdem ist es umgekehrt: “potentiell Unendlich” setzt “aktual Unendlich” voraus.

Und ich mag diese Begriffsunterteilung persönlich auch gar nicht, sie ist letztlich historisch bedingt. Eine saubere Behandlung des Themas geht über Kardinalzahlen.

Nearly all research-level mathematicians today (I would guess 99.99% of them) take for granted both "potential" and "completed" infinity, and most probably do not even know the distinction indicated by those two terms.

“magische Heizdecke” – klar.

[Janina]

„Unendlich“ ist (in der Mathematik) keine Zahl, sondern die Anweisung einen Vorgang (der oft „schnell“ erklärt ist) immer wieder durchzuführen und nicht damit aufzuhören.

Nein, das ist deine Privat-Mathematik*.
* versuch mich eines besseren zu belehren und “‘Unendlich’ ist in der Mathematik die Anweisung einen Vorgang immer wieder durchzuführen und nicht damit aufzuhören” mit einer Quelle zu belegen.

So funktioniert Mathematik nicht.
Was widerlegt wurde, das hört man auf zu behaupten, statt es weiter breit zu treten.

[Pluto]

Durch nicht endende Abzählung erreichst du nur abzählbar unendliche Mengen. Eine überabzählbare Menge ist dadurch nicht beschreibbar.

Worin besteht der Unterschied zwischen "Nicht abzählbar" und "Überabzählbar"?

[Janina]

Durch nicht endende Abzählung erreichst du nur abzählbar unendliche Mengen. Eine überabzählbare Menge ist dadurch nicht beschreibbar.

Worin besteht der Unterschied zwischen "Nicht abzählbar" und "Überabzählbar"?

Abzählbar unendlich ist die Mächtigkeit der Menge der natürlichen Zahlen â„•.
Alles was man "aufzählen ohne aufzuhören" kann, ist maximal abzählbar unendlich.
Das heiß, überabzählbare Mengen sind durch "aufzählen ohne aufzuhören" nicht erreichbar. Auch der Beweis der vollständigen Induktion (der ja auf einem Abzählvorgang beruht) kann auf solche Mengen nicht angewendet werden.

[ThomasM]

Was widerlegt wurde, das hört man auf zu behaupten, statt es weiter breit zu treten.

Sag das mal denen, die immer noch versuchen, die Quadratur des Kreises mit Zirkel und Lineal hinzubekommen.