Geometrische Ähnlichkeit taucht da aber nicht auf.
Meiner Ansicht nach gibt es keine exakte Definition von “unendlich†über geometrische Ähnlichkeit.
Also, es gibt natürlich eine bijektive Abbildung von M = [0, 1] ∪ [2, 3] nach M' = [0, 0.5] ∪ [2, 2.5], aber es gibt keine Ähnlichkeitsabbildung, d.h. von der Form f(x) = mx + b.Genauso wie [0, 1] ähnlich ist zu [0, 0,5].
Ich schlage folgende Teilmenge vor: M' = [0, 0,5] ∪ [2, 2,5]. Die Abbildung dazu kannst du dir selber ausdenken.
Nur fällt mir ein, dass wenn man M' = [0, 0.25] ∪ [0.5, 0.75] ⊂ M wählen würde, gäbe es eine, nämlich f(x) = x/4.
Ich denke aber mit der unendlichen Punktmenge M = {p ∈ ℕ : p prim} ist klar, dass es keine Funktion f(x) = mx + b geben kann, die M auf eine echte Teilmenge M' ⊂ M abbildet.
m und b müssen ganze Zahlen sein (durch Überlegungen, dass f(3) - f(2) ∈ ℤ sein müssen). Außerdem gilt offensichtlich m > 0 und b kann nicht Null sein, denn mp ist nur für m = 1 prim (und das wäre die Identitätsabbildung). Jedoch ist mp + b für m > 0 nie prim, wenn p gleich einem Primfaktor von b ist.
Du machst hier aus einer zweidimensionalen Punktmenge eine eindimensionale. Das hat nichts mehr mit Ähnlichkeitsabbildungen zu tun.
Falls es nun doch nur noch um Bijektionen geht, ist das okay – nur war dann der Geometrie-Exkurs hier unsinnig und verwirrend.
Wie denkst du denn, dass Dedekind “ähnlich†verstanden hat? Akzeptierst du die Quelle, die ich zitiert habe?