Klausuraufgabe

[JackSparrow]

Eine Masse m=7,2 kg bewege sich reibungsfrei mit einer Geschwindigkeit v=1 m/s und treffe auf eine entspannte Feder, die durch den Abbremsvogang um maximal 0,2 m zusammengedrückt wird. Eine Verdopplung der Masse führt dann bei unveränderter Geschwindigkeit zu einer maximalen Auslenkung von

(A) 0,28 m
(B) 0,2 m
(C) 0,4 m
(D) 0,25 m
(E) 0,32 m ?

[Janina]

Was hast du denn selbst schon gerechnet?

[JackSparrow]

Ich setze t = v/a in s = 0,5 a * t^2 ein, forme nach a um und erhalte: a = v^2 / (2s)

Daraus berechne ich eine Beschleunigung von: a = (0,1 m/s)^2 / (2 * 0,2 m) = 0,025 m/s^2

Die Federkonstante beträgt demnach: D = F/s = m*a/s = (7,2 kg * 0,025 m/s^2) / 0,2 m = 0,9 N/m

Und die Auslenkung bei doppelter Masse: s = F/D = m*a/D = (14,4 kg * 0,025 m/s^2) / (0,9 N/m) = 0,4 m

Leider sollte aber am Ende ein Wert von 0,28 m herauskommen...

[SilverBullet]

Wenn man es über die Verdoppelung der Energie rechnet, kommen tatsächlich ca. 0.28m heraus.

Es gilt:
E=D/2 * x^2 (mit x = Weg)

„D“ habe ich mit 90N/m bestimmt (JackSparrow, du hast v=0,1m/s verwendet anstatt 1m/s)

Daraus ergibt sich bei x=0.2m eine Energie E=1,8Nm

Wenn man nun mit doppelter Energie rechnet und nach x auflöst, so ergibt sich:

x = sqrt( (2*E * 2) / D ) = 0.2828…m

Ich bin aber auch zuerst vom linearen Verhalten zwischen Kraft und Weg ausgegangen, d.h. doppelte Kraft => doppelter Weg.

Allerdings liegt der lineare Bereich des Federdiagramms zwischen Kraft und Weg nicht mit Steigung=1 vor, so dass ich auf dem Holzweg war.
(keine Ahnung, ob das eine gute Begründung ist )

Ich denke, diese Begründung sollte ich noch mal „überarbeiten“.

Vermutlich ist es eher so, dass man die Kraft nicht als „über den gesamten Weg anliegend“ betrachten kann, weil sie ja aus der Geschwindigkeit resultiert und die Geschwindigkeit nimmt immer mehr ab, also auch die Kraft, die auf die Feder wirkt.
Energie ist da einfach der bessere Rechenweg (ansonsten würde man vermutlich ein Integral herleiten müssen, was wieder nur der Energie entspräche)

[Janina]

Energieerhaltung:
m/2 v² = D/2 x²

Doppelte Masse, doppelte Energie, gleiche Feder:
2m/2 v² = 2 D/2 x² = D/2 (Wurzel(2) x)²

Mit doppelter Masse wird die Weglänge der gestauchten Feder also um den Faktor 1,4142... vergrößert.

Daraus berechne ich eine Beschleunigung...

Die Beschleunigung ändert sich mit der Stauchung der Feder, daher unzulässig.

[ThomasM]

Der korrekte Ansatz geht über die Energieerhaltung, also die kinetische Energie der Masse wird vollständig in die potenzielle Energie der Feder überführt.
Also hat Janina Recht.

Der Realist weiß natürlich, dass es bei dem Vorgang Reibungsverluste gibt und daher weniger Energie in der Feder verbleibt. Dieser Effekt wird den geneigten Lesern als Übungsaufgabe überlassen