Eine kleine Frage zur allg. Relativitätstheorie

[Pluto]

Ja nun beim besten Willen, du antwortest nicht direkt auf meine Frage.
Woher kommt dieser Gradient zu stande, wie weiß der Körper wohin?

Wie gesagt, die Massen sagen der Raumzeit, wie sie sich zu krümmen hat.

[Agent Scullie]

Naja entschuldige meine mir nicht ersichtliche Bildungslücke, aber ein Regentropfen könnte doch auf seiner Geodäte exakt verkehrt herum wandern? Also von der Erde weg.
Der angesprochene Gradient soll mir doch aufzeigen, dass ein Körper x entlang eines Gefälles wandert. Dieses Gefälle bräuchte ein oben und unten. Zumindest aus Sicht von x.

Das Bild, das Pluto verlinkt hat, stellt lediglich die Krümmung des Raumes dar, nicht die der Raumzeit. Würde sich ein frei fallender Körper auf einer Geodäte im gekrümmten Raum bewegen, dann könnte er tatsächlich sowohl auf ein Gravitationszentrum zu- als auch von diesem weg fallen, oder auch einfach an Ort und Stelle verharren. Um zu verstehen, warum ein Körper auf ein Gravitationszentrum zu beschleunigt wird, muss man die Krümmung der Raumzeit berücksichtigen, die des Raumes reicht dazu nicht.

Um zu verstehen, wie sich die Krümmung der Raumzeit auf die Bewegung von Körpern auswirkt, muss man erst einmal verstehen, was eine Weltlinie ist. Dabei handelt sich um eine Art Flugbahn des betreffenden Körpers, jedoch nicht im Raum, sondern in der Raumzeit. Siehe z.B. hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Weltlinie

Wenn die Raumzeit nicht gekrümmt ist, ist die Weltlinie eines Körpers, auf den keine Kräfte wirken, einfach eine Gerade, der Körper bewegt sich dann geradlinig gleichförmig. Ist die Raumzeit hingegen gekrümmt, so wird die Weltlinie zu einer Geodäte, d.h. zu einer geradestmöglichen Linie. Wie sie dann verläuft, hängt von der genauen Krümmung der Raumzeit ab. In der Umgebung eines Himmelskörpers großer Masse ist die Raumzeit so gekrümmt, dass alle geodätischen Weltlinien zum Himmelskörper hin gebogen werden, d.h. selbst ein sich anfänglich von Himmelkörper fort bewegender Körper wird so umgelenkt, dass er alsbald auf den Himmelskörper zu stürzt.

Allerdings lässt sich die Krümmung der Raumzeit nicht so einfach darstellen wie die Krümmung des Raumes im von Pluto verlinkten Bild. Deswegen wird in populärwissenschaftlichen Quellen häufig nur die Krümmung des Raumes in Bildform illustriert und so getan, als könne dadurch die Gravitation korrekt beschrieben werden.

Ein sehr gutes Buch, in dem auch die Krümmung der Raumzeit in einer für Laien einigermaßen verständlichen Form beschrieben wird, ist "Gravitation und Raumzeit" von John A. Wheeler. Kannst ja mal gucken, ob du das in einer Bibliothek findest.

[Pluto]

Das Bild, das Pluto verlinkt hat, stellt lediglich die Krümmung des Raumes dar, nicht die der Raumzeit.

Stimmt. Es ist schwer 4 Dimensionen auf 2 darzustellen.

[edronyi]

Wenn die Raumzeit nicht gekrümmt ist, ist die Weltlinie eines Körpers, auf den keine Kräfte wirken, einfach eine Gerade, der Körper bewegt sich dann geradlinig gleichförmig. Ist die Raumzeit hingegen gekrümmt, so wird die Weltlinie zu einer Geodäte, d.h. zu einer geradestmöglichen Linie. Wie sie dann verläuft, hängt von der genauen Krümmung der Raumzeit ab. In der Umgebung eines Himmelskörpers großer Masse ist die Raumzeit so gekrümmt, dass alle geodätischen Weltlinien zum Himmelskörper hin gebogen werden, d.h. selbst ein sich anfänglich von Himmelkörper fort bewegender Körper wird so umgelenkt, dass er alsbald auf den Himmelskörper zu stürzt.

Danke dir. Genau der Abschnitt hat in meinem Verständnis gefehlt. Würde euch beide für eure mehr als gelungen Darstellungen gerne upvoten etc aber hab die Funktion noch nicht gefunden

[Agent Scullie]

Das Bild, das Pluto verlinkt hat, stellt lediglich die Krümmung des Raumes dar, nicht die der Raumzeit.

Stimmt. Es ist schwer 4 Dimensionen auf 2 darzustellen.

Dazu müsste man 2 der 3 räumlichen Dimensionen weglassen, so dass eine räumliche Dimension und die zeitliche Dimension übrigbleiben. Das Resultat sieht dann ziemlich nichttrivial aus:

[Janina]

Klingt auf alle plausibel, darf man noch fragen wie man sich diese Gradienten vorstellen darf?

Ein Gradient ist die dreidimensionale Ableitung eines Skalarfeldes nach dem Ort. Das bedeutet, dass ein Gradientenfeld rotationsfrei ist.

Dieser Gradient würde aber vorraussetzen dass es ein Oben und Unten gibt?

So kann man es platt ausdrücken.

Frage: Warum fällt alles zu Boden?
Antwort: Weil alles was nach oben fällt, längst weg ist.

Stimmt. Wasserstoff in der Erdatmosphäre z.B.

Ein Gradient braucht eben kein Oben und Unten.

Ein Gradient IST gerade ein Zeiger. Mathematisch zwar von unten nach oben, aber dafür gibt es ja Minuszeichen. Die Schwerkraft ist der negative Gradient des Potentials.

https://de.wikipedia.org/wiki/Gravitationsfeld

Beim Kochtopf folgt der Wärmefluss dem Temperaturgradienten. Die Richtung ist natürlich von hoch nach tief.

[Zeus]

@edronyi

Klingt auf alle plausibel, darf man noch fragen wie man sich diese Gradienten vorstellen darf?

Ein Gradient ist die dreidimensionale Ableitung eines Skalarfeldes nach dem Ort. Das bedeutet, dass ein Gradientenfeld rotationsfrei ist.

Praktisch sieht das so aus: Mann stellt sich das Skalarfeld als eine geneigte oder gar hügelige Landschaft vor. Der Gradient irgend eines Punktes in dieser Landschaft stellt dann Größe und Richtung von Neigung (oder Steigung bzw. Gefälle) an dieser Stelle dar.

[Agent Scullie]

Klingt auf alle plausibel, darf man noch fragen wie man sich diese Gradienten vorstellen darf?

Ein Gradient ist die dreidimensionale Ableitung eines Skalarfeldes nach dem Ort. Das bedeutet, dass ein Gradientenfeld rotationsfrei ist.
[...]
Ein Gradient IST gerade ein Zeiger. Mathematisch zwar von unten nach oben, aber dafür gibt es ja Minuszeichen. Die Schwerkraft ist der negative Gradient des Potentials.

https://de.wikipedia.org/wiki/Gravitationsfeld

Hier muss man allerdings anmerken, dass eine solche Beschreibung des Gravitationsfeldes über ein skalares Gravitationspotential und eine vektorielle Feldstärke als Gradient dieses Potentials nur in der Newtonschen Theorie bzw. im Newtonschen Grenzfall der ART funktioniert. In der vollen ART tritt an die Stelle des Newtonschen Gravitationspotentials Φ der metrische Tensor g_μν. Diesen kann man sich als 4x4-Matrix vorstellen, mit 16 Komponenten, von denen 10 voneinander unabhängig sind. Im Newtonschen Grenzfall ist dann nur die Komponente g_00 wichtig und nimmt den Wert 1 - 2Φ an.

Als Analogon zum Gradienten des skalaren Gravitationspotentials kann man in der ART die Christoffelsymbole ansehen. Diese setzen sich, ähnlich wie der Gradient des skalaren Potentials aus Ableitungen des Potentials nach den räumlichen Koordinaten gebildet wird, aus Ableitungen des metrischen Tensors nach den räumlichen und zeitlichen Koordinaten zusammen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Christoff ... ltigkeiten

Die Christoffelsymbole sind es auch, die in die Geodätengleichung, also die Bewegungsgleichung für einen frei fallenden Körper, eingehen. Sie übernehmen also auch in diesem Sinne die Rolle der vektoriellen Newtonschen Feldstärke. Siehe z.B. hier:

https://www.itp1.uni-stuttgart.de/lehre ... Grundl.pdf

Seite 3, Gleichung (1.17). Diese Gleichung kann man so verstehen: man geht zunächst in ein nicht frei fallendes Koordinatensystem, so dass jeder frei fallende Körper beschleunigt erscheint. Die resultierende scheinbare Beschleunigung unterliegt dann dieser Gleichung.

Frage: Warum fällt alles zu Boden?
Antwort: Weil alles was nach oben fällt, längst weg ist.

Stimmt. Wasserstoff in der Erdatmosphäre z.B.

Wasserstoffmoleküle fallen aber nicht nach oben. Sie bewegen sich nach oben. Das liegt daran, dass sie nicht frei fallend sind, da sie neben der Gravitation noch anderen Einflüssen ausgesetzt, insbesondere der Auftriebskraft und der thermischen Bewegung. Würden sie allein dem Einfluss der Gravitation folgen, so würden auch sie nach Richtung Erdmittelpunkt fallen.

[Pluto]

Frage: Warum fällt alles zu Boden?
Antwort: Weil alles was nach oben fällt, längst weg ist.

Stimmt. Wasserstoff in der Erdatmosphäre z.B.

Wasserstoffmoleküle fallen aber nicht nach oben.

Es war als Scherz gemeint, lieber Scullie.

[Agent Scullie]

Wasserstoffmoleküle fallen aber nicht nach oben.

Es war als Scherz gemeint, lieber Scullie.

Schon klar, aber in einer Antwort an jemanden wie edronyi, der sich offenkundig nicht besonders gut mit der Thematik auskennt, ist so ein Schwerz vielleicht doch etwas deplatziert.