seeadler hat geschrieben:Agent Scullie hat geschrieben: kann man deutlich sehen, dass keine der Achsen mit t beschriftet ist, die Achsbeschriftungen lauten auf x,y,z. Da geht es also offenbar nicht um Hyperflächen, die sich aus einer Zerlegung der Raumzeit ergeben. Da du nicht angegeben hast, in welchem Artikel dieses Bild zu finden ist, kann ich da leider nicht viel mehr zu sagen.
Die Quelle ist auch hier
Wikipedia
Und aus dieser Quelle ist ersichtlich, dass es da um das mathematische Konzept der Hyperfläche im allgemeinen, also
n-dimensionale Ebenen in einem (n+1)-dimensionalen affinen Raum
geht, und nicht etwa im speziellen um raumartige Hyperflächen, in die man die Raumzeit zerlegen kann.
seeadler hat geschrieben:Agent Scullie hat geschrieben:Wenn du ein Bild haben willst, wo sowohl die Zerlegung der Raumzeit in raumartige Hyperflächen beschrieben wird als auch die Einbettung der gekrümmten Hyperflächen in eine höherdimensionale Umgebung, so musst du zu einem Bild greifen, in dem die gekrümmte Raumzeit selbst in eine höherdimensionale Umgebung eingebettet wird, sprich: in eine fünfdimensionale Umgebung, da die Raumzeit selbst bereits vier Dimensionen hat. Das sähe dann z.B. so aus:
eine eindrucksvolle Grafik. An dieser kann man auch das nachzeichnen, was ich vor einiger Zeit gefragt habe, und wo du mi9t der Frage nichts anfangen konntest, und statt dessen meintest, es gäbe keinen "Krümmungsindex".
Mit der Frage kann ich auch nach wie vor nichts anfangen, da es auch bei der glockenförmigen Fläche in der Grafik keinen "Krümmungsindex" gibt. Die vierdimensionale Raumzeit hat eine Krümmung, die durch den Riemannschen Krümmungstensor beschrieben werden kann, einem mathematischen Gebilde mit 4 x 4 x 4 x 4 = 256 Komponenten, von denen 20 voneinander unabhängig sind. Wenn man wie in der Grafik zwei der vier Raumzeitdimensionen weglässt, so dass sich eine zweidimensionale Fläche ergibt, so hat diese Fläche eine Krümmung, die durch einen Krümmungstensor mit 2 x 2 x 2 x 2 = 16 Komponenten beschreibbar ist, von denen nur noch eine einzige unabhängig ist und gleich dem Ricci-Skalar ist. Dieser Ricci-Skalar ist kein "Krümmungsindex", sondern der Ricci-Skalar.
Und der Ricci-Skalar kann auch nur die Krümmung der dargestellten zweidimensionalen Fläche vollständig beschreiben, nicht die volle Krümmung der vierdimensionalen Raumzeit, die ja neben den zwei dargestellten noch zwei weitere Dimensionen hat. Für die volle Krümmung braucht man 20 Komponenten des Krümmungstensors.
seeadler hat geschrieben:Wenn ich eine Sinuskurve zeichnen, in der das Verhältnis von Beschleunigung zur Entfernung dargestellt wird, so ergibt dies für jede beliebige Masse das gleiche entsprechend vergleichbare Bild.
Eine Sinuskurve ist wie jede Kurve ein eindimensionales Gebilde, sie kann also gar kein vergleichbares Bild ergeben, das mit einer zweidimensionalen Fläche oder gar einer vierdimensionalen Raumzeit vergleichbar wäre. Und da sie eindimensional ist, ist für sie auch gar keine Krümmung definiert (im Sinne einer inneren Krümmung im Sinne der Riemannschen Geometrie, und nur um eine solche geht es, wenn in der ART von der Krümmung der Raumzeit oder des Raumes die Rede ist). Gekrümmt sein können nur Räume mit mindestens zwei Dimensionen. Neben der inneren und äußeren Krümmung der Riemannschen Geometrie gibt es auch noch den Krümmungsbegriff der Analysis, nach dem eine Funktion mit einer einzigen Variablen, deren Funktionsgraph somit eindimensional ist, eine Krümmung im Sinne der zweiten Ableitung nach der Funktionsvariablen besitzt, diese Art von Krümmung interessiert hier aber nicht.
Zum zweiten würde mich mal interessieren, bei was für einem System eine Sinuskurve herauskommen soll, wenn das Verhältnis der Beschleunigung zur Entfernung aufgetragen wird. Beim lokalen Gravitationsfeld eines Himmelskörpers z.B. ist die Schwerebeschleunigung umgekehrt proportional zum Quadrat der Entfernung, da ergibt sich also eine 1/r²-Funktion, und ganz sicher keine Sinus-Funktion.
Und wenn du in einem Funktionsgraphen irgendeine Größe über einer anderen aufträgst, dann ist der Funktionsgraph ganz unabhängig von seiner Dimensionenzahl (ob eindimensional wie bei einer Sinus- oder einer 1/r²-Funktion, zweidimensional oder sonst irgendeine Dimensionenzahl) in den meisten Fällen nicht die Raumzeit.
seeadler hat geschrieben:Als ich vom Waschbecken sprach, fragte ich ebenso nach dem "Krümmungsindex" der Raumzeit, womit ich die Form des Waschbeckens als zweidimensionales Bild, graphisch darstellbar in drei Dimensionen gemeint habe; genauso gut könnte ich jene "Glocke" von dir dazu benutzen.
Als du vom Waschbecken sprachst, sprachst du aber offensichtlich von der Schwarzschildmetrik, also dem lokalen Gravitationsfeld eines Himmelskörpers, von dem z.B. ein Probekörper angezogen werden kann. Die Glocke aus meinem Bild dagegen ist ein Einbettungsdiagramm für die FLRW-Metrik, die das Universum als Ganzes beschreibt, das entweder expandieren oder kontrahieren kann. Die Anziehung eines Probekörpers durch ein lokales Gravitationsfeld kann durch die FLRW-Metrik und damit durch die Glocke im Bild nicht erfasst werden. Dafür wäre ein Einbettungsdiagramm für die Schwarzschildmetrik erforderlich, und zwar eines für die Raumzeit, nicht für den Raum. So ein Diagramm sähe dann völlig anders aus.
Aber wie bei der FLRW-Metrik gibt es auch bei der Schwarzschildmetrik keinen "Krümmungsindex".
seeadler hat geschrieben:Denn offenbar gibt es auch hier eine geometrisch mathematische Beziehung (Hyperbel?) für die graphische Darstellung jener "Raumzeit"
Um so ein Einbettungsdiagramm erstellen zu können, benötigt man eine Einbettungsfunktion. Die kann z.B. die Form z(r,t) haben, wobei r und t die beiden dargestellten Dimensionen der Raumzeit sind und z die Zusatzdimension der einbettenden Umgebung. Diese Einbettungsfunktion ist ebenfalls kein "Krümmungsindex", sondern eine Einbettungsfunktion.
seeadler hat geschrieben:wovon du hier ebenfalls nur zwei Dimensionen (die blaue Fläche) verwendet hast- wenn du so etwas anfertigst, dann brauchst du doch entsprechendes Zahlenmaterial, also das Verhältnis der Kurven der Glocke zum Verhältnis der eigentlichen Größe usw... Was liegt hierfür zugrunde?
Die Einbettungsfunktion kann man aus der Metrik der einzubettenden Raumzeit - in diesem Fall der FLRW-Metrik - gewinnen, über die Forderung, dass die Krümmung der einbettenden Umgebung verschwinden soll.
seeadler hat geschrieben:Die Öffnung der "Glocke" erinnert mich jetzt doch an ein Schwarzes Loch, respektive dem Durchmesser des Ereignishorizontes - ist das zufällig oder bewusst so gewählt.... oder hat dies auch keine nähere Bedeutung?
Es hat keine nähere Bedeutung. Einbettungsdiagramme für schwarze Löcher, die so ähnlich aussehen, wie z.B. dieses:
sind Einbettungsdiagramme für die Schwarzschildmetrik, und zwar für den Raum, nicht für die Raumzeit. Das Diagramm mit der Glocke hingegen ist ein Einbettungsdiagramm für die Raumzeit, und zwar für die FLRW-Metrik. Man kann für die FLRW-Metrik auch ein Einbettungsdiagramm für den Raum erstellen, das sieht dann ganz anders aus, z.B. für k = +1 so:
Insbesondere gibt es in der FLRW-Metrik und damit auch auf der Glockenfläche keinen Ereignishorizont. Die hellblaunen Linien bzw. die gelbe Linie stellen ja die Zeitrichtung dar - und da die Zeit unweigerlich voranschreitet, bewegt man sich auf diesen Linien unweigerlich aufwärts, es kann somit nicht passieren, dass einen die Gravitation davon abhält, das zu tun.
seeadler hat geschrieben:Mir stellt sich bei dieser bildhaften Analogie auch die Frage, ob jene Dilatationsformel für die Zeit in der graphischen Demonstration ebenfalls zur Anwendung kommt.
In der FLRW-Metrik gibt es keine Zeitdilatation (alle Uhren, die sich auf den hellblauen Weltlinien auf der Glockenfläche bewegen, gehen gleich schnell), also kann da auch keine Zeitdilatationsformel zur Anwendung kommen.
Bei einer Einbettungsdiagramm für die Raumzeit der Schwarzschildmetrik käme die Formel für die gravitative Zeitdilatation für die Schwarzschildmetrik tatsächlich zur Anwendung. Das sieht dann z.B. so aus:
Also völlig anders als ein Einbettungsdiagramm für den Raum der Schwarzschilmetrik, und auch völlig anders als Einbettungsdiagramme für die FLRW-Metrik. Hier wird dann auch näher erläutert, wie dieses Diagramm zustandekommt:
http://physics.stackexchange.com/questi ... f-2d-space