Mathematikfrage: Warum ist x^0 = 1?

[SilverBullet]

@Yusuke
Ich weiss nicht, ob meine Ideen noch etwas beitragen können, denn die bisherigen Antworten werde ich nicht toppen können.
Mal angenommen, ich erzähle jetzt keinen Blödsinn, dann möchte ich versuchen, die Fragestellung etwas anschaulicher anzugehen.

Bei „5 hoch x“ handelt sich nur scheinbar um eine direkte Formel.
Tatsächlich steckt in dieser Schreibweise so eine Art „Vorschrift zum Aufbauen einer Formel“
Du hast ja bereits richtig geschrieben: „y = 5^2 = 5*5“ und „y = 5^1 = 5“

Nun könnte man vorschnell sagen: „die Hochzahl gibt die Anzahl der 5er an, die multipliziert werden sollen“.
=> Die Anzahl „5er“ steckt tatsächlich in der Hochzahl (zumindest bei Ganzzahlen), aber das ist noch nicht alles.

Wenn man negative Hochzahlen verwendet, ergibt sich: „y = 5^-1 = 1/5“

D.h. das Vorzeichen der Hochzahl gibt zusätzlich den Rechenoperator an und plötzlich taucht auch noch eine „1“ auf.

Nun kann man die Formeln für positive Hochzahlen ja auch so schreiben:
„y = 5^2 = 1*5*5“ und „y = 5^1 = 1*5“
Dadurch taucht auch hier eine „1“ auf und zusätzlich ein weiterer Operator.

Bei dieser Schreibweise, gibt der absolute Wert der Hochzahl die Anzahl der „5er“ sowie die Anzahl der Operatoren an (zumindest bei Ganzzahlen).

Wenn man dies logisch weiter führt, kommt bei „y = 5^0“ einfach keine „5“ und kein Operator vor und es ergibt sich „y = 5^0 = 1“

Ich hoffe man kann etwas damit anfangen…

[Anton B.]

Ich hoffe man kann etwas damit anfangen…

Ich halte diesen Versuch der Rettung von a^x für problematisch.

a^x in der bekannten Interpretation, a sei x-fach miteinander multipliziert, ist in seiner Gültigkeit durch "x ist Element aus der Menge der positiven ganzen Zahlen" eindeutig definiert. a^x mit x = 0 ist also gar nicht in eine solche Schreibweise wandelbar. Für a^x mit "x als Element der Menge der positiven ganzen Zahlen erweitert um 0" wird dagegen die Spezialdefinition x^0 = 1 benötigt. Da beißt die Maus keinen Faden ab.

Für a^x mit x = 0 als Ergebnis der Anwendung der Potenzgesetze dagegen existiert die Problematik gar nicht, weil x hier mindestens als "Element aus der Menge der reellen Zahlen" definiert ist.

ThomasM hat das m.E. völlig korrekt heraus gearbeitet. Und daraus folgt für Yusukes Problem: Die häufige Darstellung in Mathebüchern für Schüler, eine Potenz sei grundlegend durch a^x als x-fache Multiplikation von a miteinander definiert, ist nicht korrekt. Nicht korrekt, weil die Allgemeingültigkeit -- ob abgeleitet oder nicht -- nicht gegeben ist.

Für a sind selbstverstänlich auch Betrachtungen der Ausprägung anzustellen, die hier aber vernachlässigt sind.

[JackSparrow]

Die häufige Darstellung in Mathebüchern für Schüler, eine Potenz sei grundlegend durch a^x als x-fache Multiplikation von a miteinander definiert, ist nicht korrekt.

Wenn folgendes gilt:
5^3 = 5 x 5 x 5
5^2 = 5 x 5
5^1 = 5

dann muss auch folgendes gelten:
5^(2 + 1) = 5^2 x 5^1 = 5 x 5 x 5
5^(3 + 0) = 5^3 x 5^0 = 5 x 5 x 5

Es gilt also: 5^3 x 5^0 = 5^3

Für eine reelle Zahl a und eine reelle Zahl b mit a x b = a muss aber gelten:
b = 1 (Neutralelement der Multiplikation)

woraus folgt: 5^0 = 1

Was sich natürlich noch erweitern lässt:
5^1 = 5^(1/2 + 1/2) = 5^(1^2) x 5^(1/2) = 5

Für eine reelle Zahl a und eine reelle Zahl b mit a x a = b muss aber gelten:
a ist die Quadratwurzel von b

woraus folgt: 5^(1/2) = Quadratwurzel von 5

Amen.

[Christian41285]

X ^0 =1

X = 1

[Anton B.]

Die häufige Darstellung in Mathebüchern für Schüler, eine Potenz sei grundlegend durch a^x als x-fache Multiplikation von a miteinander definiert, ist nicht korrekt.

Wenn folgendes gilt:
[...]

Ist ja alles richtig. Aber auch Du bemühst a^ (x + y) = a^x * a^y. Dass es damit keine Probleme gibt ist uns doch allen klar. Aber ob alleine mit den vor der Potenzrechnung etablierten Rechenregeln a^0 = 1 aus der von Yusuke dargestelten Schreibweise bzw. Rechenregel abgeleitet werden kann, war doch die Frage.

[SilverBullet]

Ich hoffe man kann etwas damit anfangen…

Ich halte diesen Versuch der Rettung von a^x für problematisch.

Ich sehe das Ganze emotionslos:
wenn ich was Falsches geschrieben habe -> kein Problem.

Ich habe mal in einem Mathe-Handbuch nachgesehen und da steht tatsächlich drin, das a^1 per Definition = a sein soll und ansonsten gibt „n“ in „a^n“ an, wie oft a mit sich selbst multipliziert werden soll. Und dann steht noch dabei, dass „a^0“ per Definition = 1 sein soll.

Da fehlt mir ein wenig die handfeste Vorstellung, um was es geht (das ist genau das, was Yusuke gemeint hat).
Deshalb habe ich versucht die „bildliche Umsetzung“ durch einen Zusatz zu komplettieren.
(Ich denke, wenn das Ergebnis korrekt ist, steckt auch nichts anderes drin, als die Potenzregeln)

Ich bin da wohl nicht der Einzige, denn hier bei Wiki wird es genauso mit „1*“ beschrieben, wobei explizit „geschrieben steht“ ( ):
“Die folgende Modifikation erleichtert die Behandlung des Sonderfalles n=0:
Die Potenzschreibweise bedeutet „Multipliziere die Zahl 1 mit der Grundzahl so oft, wie der Exponent angibt““

Mit „a*a^n = a^(n+1) => a^1*a^0 = a^(1+0) = a^1 => a^0 = 1” wird im Link auch die andere Potenzregel als Herleitung angegeben.

---
---

@Christian41285

X = 1 ist korrekt, aber es gilt auch für alle anderen Zahlen, denn bei X^0 kann man für X einsetzen, was man möchte - durch die 0 verschwindet das X aus der Berechnung.

[JackSparrow]

Aber ob alleine mit den vor der Potenzrechnung etablierten Rechenregeln a^0 = 1 aus der von Yusuke dargestelten Schreibweise bzw. Rechenregel abgeleitet werden kann, war doch die Frage.

Das ist ja keine Regel, sondern eine notwendige Folge.

2 + 1 ist offensichtlich 1 mehr als 2. Wenn ich zu 5 x 5 = 5^2 noch 1 Potenz hinzufüge, dann erhalte ich 5 x 5 x 5 = 5^3. Also muss 5^1 gleich 5 sein, denn nur durch Multiplikation mit einer weiteren 5 komme ich auf dieses Ergebnis.

2 + 0 ist offensichtlich immer noch 2. Wenn ich zu 5 x 5 = 5^2 noch 0 Potenzen hinzufüge, dann bleibt es bei 5 x 5. Also muss 5^0 gleich 1 sein, denn nur durch Multiplikation mit 1 bleibt der Ausgangsterm gleich.

X = 1 ist korrekt, aber es gilt auch für alle anderen Zahlen, denn bei X^0 kann man für X einsetzen, was man möchte - durch die 0 verschwindet das X aus der Berechnung.

Man kanns auch grafisch lösen. Eine Gerade mit y = x^1 hat offensichtlich den Anstieg 1 (1 nach rechts, 1 nach oben). Der Anstieg berechnet sich aber mit y' = nx^(n - 1). Also muss x^(1 - 1) korrekterweise gleich 1 sein.

[Christian41285]

X = 1

^=?

[Christian41285]

X ^ 0 besagt das X grösser ist als 0

Die Aussage =1 ist unsinnig

Die Frage lautet was die Frage ist um auf = 1 zu kommen..was die gestellte Aufgabe ist weil X ^ 0

ist keine Aufgabe oder Frage...

Es ist schlicht nur die Aussage das X grösser ist als 0?

LG

[Pluto]

Die Aussage =1 ist unsinnig

Nein.
Du kannst höchstens sagen, die Aussage gefällt dir nicht.
Aber seit wann ist das ein Grund zu sagen es sei unsinnig?
Warum das so ist, hat ThomasM hier sehr einleuchtend dargestellt.
_________________

Hattu Problem?