Ein Tunnel durch die Erde.

[Pluto]

@Seeadler

ich bitte dich, wenn man hier von einer unendlich kleine Länge ausgeht, dann kannst du genauso gut von einem unendlich kleinen Dreieck ausgehen... was aber in beiden Fällen aufgrund der Singularität und damit Auflösung aller Kräfte, bzw deren Wirkungsweise vollkommen unnötig ist - denn übrig bleibt dann lediglich das Nichts.

Darin liegt doch gerade die Schönheit und Genialität der Differentialrechnung.

Im Grunde ist ein Differential nichts anderes als die Steigung einer Tangente an einem beliebigen Punkt einer beliebigen Kurve der Form y=f(x), also auch an einem Kreis oder einer Ellipse. Der Ausdruck dx/dy ist die Neigung der Kurve an einem Punkt. Der Ausdruck d²x/dy² ist das Differential des Differentials an einem beliebigen Punkt. Rechnerisch ist das die Veränderung der Neigung an diesem Punkt.
Wie schon Zeus sagte, bedeutet dies beim Problem des Erdtunnels, dass die Beschleunigung (d²x/dt²) eine (halbe) Cosinuskurve durchläuft:
dx/dt = Geschwindigkeit = v
dv/dt = d²x/dt² = Beschleunigung

[Zeus]

Sie ist nicht wirklich eine Kreisbahn, sondern eine stete spontane Richtungsänderung, du nennst es hier ganz richtig infinitesimal kleine Abstände

Lieber Seeadler, dir ist hier vielleicht die Bedeutung von "infinitesimal" entgangen. "infinitesimal" bedeutet hier unendlich klein. Das war der Gedankensprung den sowohl Galilei als auch später Newton und Leibniz gelang. Die Differentialrechnung ist übrigens eine Ableitung des bereits in der Antike bekannten Tangenten-Problems (ein Kreis besitzt unendlich viele Tangenten) -- wie soll man das beschreiben?
Dies ist auch der Weg den Leibniz wählte um seine Differentialmathematik zu formulieren (der Praktiker Newton wählte den Weg über seine physikalischen Bewegungsgesetze).

man kann also jene Richtungsänderungen durch dein Dreieck beschreieben, welches ich hier schon als "trigonometrisches System" ansprach,

Und was ist ein solches Dreieck, wenn der Spitzwinkel unendlich klein wird?

Man kann die Kreisbahn auch durch eine Aneinanderreihung von infinitesimal kurzen Sekanten darstellen.
Aber lieber Seeadler, Dreiecke benutzen? Wie stellst du dir das denn vor? Ein Dreieck ist eine geschlossene Figur. Um den Kreis zu fabrizieren, brauchen wir eine Kette kurzer Linien: "-------" nicht "ΔΔΔΔΔΔ"

[Zeus]

Die Frage für mich lautet, wann erreicht die fallende Masse ihre Höchstgeschwindigkeit. nach meiner Überlegung kann dies nicht erst im Zentrum sein,...

Deine Überlegung ist falsch.

...weil dort die Kräfte gegenseitig aufgehoben sind -g = +g .

Die auf die Masse m des Tunnel-Reisenden wirkende Schwerkraft beträgt am Eingang des Tunnels m * 9.81[g*m/s²] und nimmt LINEAR[*] bis zum Zentrum der Erde auf NULL ab. Der springende Punkt ist, dass demnach bis zum Mittelpunkt die m beeinflussende Schwerkraft größer als Null ist, also wächst die Reisegeschwindigkeit bis zur Ankunft an dieser Stelle.
Ist das denn so schwer zu verstehen?


Rot = x(t) Position des Reisenden (Tunnel und Reise vom Südpol zum Nordpol)
Grün= v(t) Geschwindigkeit
Blau = a(t) Beschleunigung
Schwarz= a(x)

Gruß
Zeus

[*](Dies ist eine bekannte Tatsache, die ich nicht selbst überprüft habe.)

[Münek]

Die Frage für mich lautet, wann erreicht die fallende Masse ihre Höchstgeschwindigkeit. nach meiner Überlegung kann dies nicht erst im Zentrum sein,...

Ja, wieso denn nicht, Seeadler?

Anders gehts doch überhaupt nicht!

Die Höchstgeschwindigkeit erreicht der fallende Körper definitiv im Erdmittelpunkt (die Beschleunigung
ist von Anfang an da, nimmt aber kontinuierlich ab, die Geschwindigkeit nimmt dagegen zu und erreicht
ihren Höchstwert im Erdmittelpunkt - nicht etwa vorher!).

Dass der in die Erdröhre fallende Körper bereits tausende Kilometer vor dem Erreichen des Erdmittelpunk-
tes sich nur noch mit "gleichförmiger Geschwindigkeit" , nicht aber mit - wenn auch verminderter - Be-
schleunigung bewegen soll, ist eine - sorry - mehr als abenteuerliche Behauptung.

Welche Kraft sollte diesen Körper dazu bringen, tausende Kilometer vor dem Erreichen des Erdmittelpunkts
trotz nach wie vor bestehender stärkerer Anziehungskräfte "von unten" seine Beschleunigung aufzugeben
und in eine gleichförmige, unbeschleunigte Abwärtsbewegung bis zum Erdmittelpunkt überzugehen?

Hast Du dafür eine überzeugende Erklärung? Wenn ja, her damit!

LG Münek

[seeadler]

Zeus, Pluto und Münek,

ihr behauptet also allen ernstes - nur mal so grundsätzlich - dass die hinter mir liegende Masse keinen Einfluss auf meine Geschwindigkeit hat, und nur die vor mir liegende Masse meine Geschwindigkeit erhöht? Und das auch noch, obwohl die vor mir liegende Masse nachweislich kontinuierlich geringer wird, während die hinter mir liegende Masse ansteigt??? Und auf einmal, kaum das der fallende Körper das Zentrum passiert, soll es erst zu einer abbremsenden Wirkung kommen???

Irgend etwas passt da nicht hin! Wie gesagt, ihr ignoriert den Einfluss der hinter mir liegenden Masse quasi vollends bis zum zentrum hin. Erst dann lässt ihr sie ebenfalls wirken..

na ja, grundsätzlich ist dagegen nichts zu sagen, wenn man berücksichtigt, dass eine einmal erreichte Höchstgeschwindigkeit nicht weiter ansteigt, weil, wie ich schrieb, ja die Masse hinter mir ebenfalls auf mich einwirkt. Wir brauchen doch nur die beiden Szenarien, also Bilder, die man entwickeln kann, wenn man die Strecke vor dem Zentrum und nach dem Zentrum übereinander legt, weil wir ja das Problem in beiden Richtungen haben, nur dass der Körper zunächst auf die Masse zufällt, die sich aber stetig reduziert, dann aber von der Masse flieht, die stetig zunimmt. Doch in Richtung der Flugbahn nimmt die Masse stetig ab und in der Gegenrichtung, sprich hinter mir, nimmt die Masse stetig zu......

Darum meine Frage, in wieweit berücksichtigt ihr die wirkende Kraft der hinter mir liegenden Masse schon auf dem Weg zum Zentrum hin? Und bitte geht dies auch ohne Differentialgleichung auf der einfachen simplen Methode, nach der ich ebenfalls schon seit Jahrzehnten die Fluggeschwindgkeit von Objekten im All berechne, und das mit Erfolg?.

Ein Gedankenexperiment :

Wir lassen eine Masse in der Entfernung des Mondes in Richtung Erde fallen. Gleichzeitig entsteht in Höhe des Mondes eine zusätzliche Masse, die proportional zu meiner zurückgelegten Strecke immer größer wird... und dann, wenn die fallende Masse die Erdoberfläche erreicht, genauso groß ist (nicht im Durchmesser, sondern im Massenanteil) wie die Erde. Wann hat der fallende Körper seine Höchstgeschwindigkeit erreicht, und in wieweit hat darauf die sich hinter ihm bildende Neue Erde darauf Einfluss? Wie gesagt, am Anfang ist diese Zweitmasse nicht da, und sie wird erst dann genauso groß wie die Erde, wenn der Körper die Erde erreicht hat.

eine zusätzliche Frage:

wenn sich ein Körper mit beispielsweise 40 km/s der Erde nähert, wird dieser dann während er sich der Erde nähert zusätzlich durch die Gravitation der Erde noch weiter beschleunigt? Immerhin fliegt der Körper fast drei mal schneller, als die hier auf der Erdoberfläche notwendige Fluchtgeschwindigkeit. Ich war der Meinung, dass er dies nicht täte. Und darum kann ich auch nicht nachvollziehen, warum die in der Erde frei fallende masse trotzdem noch weiter beschleunigt werden sollte, nachdem es schon längst die von der Gesamt-Erdmasse vorgegebene Geschwindigkeit von 11,2 km/s erreicht hat . Statt dessen behauptet ihr, dass er im Zentrum eine Geschwindigkeit von fast 30 km/s erreichen würde (mich würde hierzu die detaillierte Rechnung interessieren)


Gruß
seeadler

[Pluto]

Zeus, Pluto und Münek,

ihr behauptet also allen ernstes - nur mal so grundsätzlich - dass die hinter mir liegende Masse keinen Einfluss auf meine Geschwindigkeit hat, und nur die vor mir liegende Masse meine Geschwindigkeit erhöht?

NIEMAND behauptet dieses.

Und auf einmal, kaum das der fallende Körper das Zentrum passiert, soll es erst zu einer abbremsenden Wirkung kommen???

Ja selbstverständlich.
Die Beschleunigung folgt einer Cosinuskurve (s. unten). Sie ist an der Oberfläche am höchsten, wird im Mittelpunkt (90º) null, und nimmt dann wieder zu. Die Grafik zeigt hinter/unter dem Mittelpunkt ein negatives Vorzeichen der Beschleunigung, weil es sich um eine Bremswirkung handelt. Diese nimmt um so mehr zu, wie immer mehr Masse sich hinter dem Körper befindet. Ganz abgebremst wird der Körper erst beim Erreichen der anderen (unteren) Seite der Erde (180º).

Cosinus.jpg (19.81 KiB) 1481 mal betrachtet

Irgend etwas passt da nicht hin!

Wird jetzt klarer, wie das passt?

[Zeus]

Zeus, Pluto und Münek,
ihr behauptet also allen ernstes - nur mal so grundsätzlich - dass die hinter mir liegende Masse keinen Einfluss auf meine Geschwindigkeit hat, und nur die vor mir liegende Masse meine Geschwindigkeit erhöht? Und das auch noch, obwohl die vor mir liegende Masse nachweislich kontinuierlich geringer wird, während die hinter mir liegende Masse ansteigt???

Nein lieber Seeadler, sowas behauptet kein Mensch. Das ist nur eine aus deiner Unwissenheit geborene alberne Unterstellung.

Und auf einmal, kaum das der fallende Körper das Zentrum passiert, soll es erst zu einer abbremsenden Wirkung kommen???

Unglaublich, aber wahr!

Irgend etwas passt da nicht hin! Wie gesagt, ihr ignoriert den Einfluss der hinter mir liegenden Masse quasi vollends bis zum zentrum hin. Erst dann lässt ihr sie ebenfalls wirken..

Es wird nichts ignoriert.
Salopp gesagt, musst du dir das so vorstellen: Bei der Reise durch den Tunnel ist zunächst vor dir die ganze Erde. Die hinter dir liegende Erdmasse ist Null, OK?
Wenn du jetzt hinein fällst in das Loch, nimmt (wie du selbst schon festgestellt hast) die vor dir liegende Erdmasse kontinuierlich ab, während die hinter dir sich befindende M. stetig zunimmt.
Solange nun die Masse vor dir größer ist als die M. hinter dir, kommt es zu einer (aus der Differenz der Massen hinter und vor dir ) resultierenden Beschleunigung, die natürlich graduell abnimmt.
Im Zentrum angekommen, hast du vor dir und hinter dir genau die halbe Erde. Die Beschleunigung (nicht die Geschwindigkeit) ist jetzt Null.
Beim weiter Fliegen wird die zurückgelassene Masse immer größer und die vor dir liegende immer kleiner.
Jetzt wirkt die kontinuierlich größer werdende resultierende Schwerkraft zuerst wenig, dann aber mehr und mehr, deiner Bewegung entgegen. Dein Flug wird zuerst leicht, dann aber immer kräftiger abgebremst.

Noch Fragen?

Schau dir doch bitte auch mal die kleine Graphik in meinem letzten Posting an!

Darum meine Frage, in wieweit berücksichtigt ihr die wirkende Kraft der hinter mir liegenden Masse schon auf dem Weg zum Zentrum hin? Und bitte geht dies auch ohne Differentialgleichung auf der einfachen simplen Methode, nach der ich ebenfalls schon seit Jahrzehnten die Fluggeschwindgkeit von Objekten im All berechne, und das mit Erfolg?

Dazu gibt es eigentlich keine simple Methode.[*] Es ist aber eine erstaunliche und erfreuliche Tatsache, dass die resultierende Beschleunigung von 9.81 [m/s²] an der Erdoberfläche LINEAR bis 0 im Erdzentrum abnimmt (unter der Annahme das die Erde eine perfekte Kugel mit homogener Dichte ist.)
Sag mal, lieber Seeadler, wie oft muss ich dir das noch mitteilen?

Gruß
Zeus

PS:
[*]Hier ist der gewünschte einigermaßen einfache Beweis:
1) Reise zum Erdinneren
2) Schwerelosigkeit im Innern einer Kugelschale

[Zeus]

Wichtiger Nachtrag

Obwohl es keiner im Forum behauptet hat, es ist eine verblüffende Tatsache, dass nur die Schwerkraft der (Erd)-Kugel (orange gefärbt) mit dem Radius z, wobei z die Stelle im Tunnel markiert, wo sich der Tunnel-Reisende gerade befindet, Einfluss auf dessen Bewegung hat.
Die Schale (braun gefärbt) ringsherum kann man vergessen.


BEWEIS

[...]Damit lässt sich das Feld im Innern einer Vollkugel bestimmen - im Abstand z vom Zentrum (zo sei der Radius der Gesamtkugel). Sie wird zerlegt in eine Vollkugel 0...z und eine äußere Hohlkugel z...zo. Es zählt nur der Beitrag der inneren Vollkugel: g = GM/z² = g(zo)*z/zo. Im Innern einer homogenen Vollkugel steigt die Gravitationskraft also proportional zum Abstand vom Zentrum.(Tunnel Aufgabe)

Gruß
Zeus

[Münek]

Wichtiger Nachtrag

Obwohl es keiner im Forum behauptet hat, es ist eine verblüffende Tatsache, dass nur die Schwerkraft der (Erd)-Kugel (orange gefärbt) mit dem Radius z, wobei z die Stelle im Tunnel markiert, wo sich der Tunnel-Reisende gerade befindet, Einfluss auf dessen Bewegung hat.
Die Schale (braun gefärbt) ringsherum kann man vergessen.


BEWEIS

[...]Damit lässt sich das Feld im Innern einer Vollkugel bestimmen - im Abstand z vom Zentrum (zo sei der Radius der Gesamtkugel). Sie wird zerlegt in eine Vollkugel 0...z und eine äußere Hohlkugel z...zo. Es zählt nur der Beitrag der inneren Vollkugel: g = GM/z² = g(zo)*z/zo. Im Innern einer homogenen Vollkugel steigt die Gravitationskraft also proportional zum Abstand vom Zentrum.(Tunnel Aufgabe)

Gruß
Zeus

Soooo kann man es richtigerweise auch sehen.

Vollkommen korrekt!

Mal sehen, was unser lieber Freund Seeadler dazu meint.

[seeadler]

lieber Münek,

ich bin heute Abend ein wenig "angeschickert", hoffe aber trotzdem noch ein paar vernünftige Sätze zustande zu bringen. jedenfalls bringt mich die Grafik von Zeus zum schmunzeln. Zeigt sie mir doch, dass (auch) er meine Beiträge nicht wirklich vollständig liest. Nu ja, damit kann ich leben. Jedenfalls jene Grafik beinhaltet ein Achtel der Gesamtkugelmasse (homogene Masse vorausgesetzt), die der fallende Körper letzten Endes auch im Erdmittelpunkt vor sich und aber auch hinter sich hat. Der ganze andere Rattenschwanz an Masse spielt dabei wie ja Zeus selbst beschreibt keine sonderliche Rolle (hätte ich ihm allerdings auf meinen laienhafte Art auch sagen können vor mir liegt ein g-Wert von der Hälfte der Erdbeschleunigung; Hinter mir liegt der gleiche g-Wert; Links und rechts von mir selbstverständlich ebenfalls.Und natürlich, selbst wnen dann der resultierende Beschleunigungswert 0 sein muss (egal in welcher Richtung) kann hier keiner behaupten, dass dies nicht trotzdem eine Rolle spielen würde und zwar dann in der Beziehung zweier kleiner Teilmassen im Zentrum selbst. denn die Gravitationswirkung zweier für sich betrachteter Massen innerhalb der Erde im zentrum wird durch jene Tatsache, dass hier eine nach außen wirkende Kraft wirkt auf jeden Fall beeinflusst..... weshalb ich schon vor längerer Zeit die von Pluto ignorierte oder auch dementierte Behauptung aufstellte : Dass der Wert der Expansionskraft des Universums den Wert der Gravitationskraft der Massen quasi bestimmt.
Denn im Erdmittelpunkt haben wir jenes Phänomen, welches auch im Universum allgemein gilt, durch die homogen verteilte Masse wirkt eine nach außen wirkende Kraft in allen Richtungen gleichermaßen. Und diese beeinflusst den Wert der Gravitation der Massen.

Und darum behaupte ich ebenso, dass auch die in einem schwarzen Loch wirkende Kraft nach Innen praktisch 0 ist. Die Gravitationswirkung eines schwarzen Lochs geht hier nicht vom Zentrum aus, sondern vom Schwarzschildradius, bzw dem Ereignishorizont außerhalb des Schwarzschildes. Darum wirkt sowohl eine Kraft von innen nach außen, wie auch zwangsläufig durch den Schwarzschild gegeben eine Kraft von außen in Richtung des Schwarzschildes....

So, und nu schaue ich mir das Innere der Erde an und behaupte auch hier, dass dies genauso ist, wie bei einem Schwarzen Loch. Die von der Erdmasse ausgehende Kraft ist an ihrer Oberfläche am größten. Je weiter du nun nach innen kommst, um so größer wird dabei die nach außen wirkende Kraft, in allen Richtungen. Sie ist logischer Weise im Zentrum am größten. Darum ist dort auch der wert der Beschleunigung quasi 0. Setzt du dort allerdings zwei Massen mit jeweils 1 kg an, die sie in einem Meter Abstand gegenüber stehen. So werden beide Massen jeweils von der Erdmasse nach außen gezogen und dies vermindert ihre wechselseitige Gravitationskraft.

So meine Gedanken dazu Ich behaupte es, weil ich es so annehme. Ob es richtig ist, weiß ich nicht ..... Es sind alles lediglich zwangsfreie Gedankenexperimente. wenn ihr mir daraus nu ständig dann eine niederschmetterende psychologische Keule Formen müsst, um meine Gedanken nicht nur abzuwürgen sondern entsprechend auch negativ zu belegen.... dann kann ich nur sagen, ihr habt mich nicht verstanden und werdet mich nicht verstehen. Denn irgendwie merkt ihr nicht, dass ich mit euch nicht so umgehe - wie ihr es mit mir tut. Irgendwie bedaure ich das. denn das Leben kann so formlos und frei und schön sein, wenn man dem anderen nicht ständig seine eingezwängten Dogmen und Gesetze vorhalten würde....

lieben gruß und schönen Sonntag

euer "lieber Seeadler"