Warum kann man aus einer falschen Aussage alles mögliche ableiten?

[Pinguin87]

Hallo zusammen,

der Titel sagt eigentlich schon alles aus. Aber ich schreibe noch etwas dazu. In einer Informatikvorlesung meinte ein Prof, dass dies aus der Wahrheitstabelle der Implikation folgt (falls ich den Prof richtig verstanden habe), diese gebe ich nachfolgend mal an.

A und B seien Aussagen und w steht für wahr und f für falsch:

A B A=>B
f f w
f f w
w f f
w w w


Ein wenig Recherche im Internet von mir hat aber ergeben, dass aus einer falschen Aussage sich alles mögliche ableiten lässt, eine "tieferliegende" Wahrheit der mathematischen Logik ist. Ich habe nie eine Vorlesung über mathematische Logik oder Mengenlehre gehört. Bitte löst meine Frage, da sie mir schon sehr lange unter den Nägeln brennt, auch wenn sie für euch trivial ist.

[Pinguin87]

Sorry, da hat sich der Fehlerteufel in die Wahrheitstabelle eingeschlichen, sie muss heißen:

A B A=>B
f f w
f w w
w f f
w w w

[Pinguin87]

Hier mal meine bisherigen Gedanken zum Thema und bitte nicht gleich teeren und federn, wenn ich total falsch liege:

Sei z. B. A die Aussage "4 < 3" und B die Aussage "Löwen sind Fleischfresser". Da die Aussage A falsch ist gilt die Implikation A => B als auch die Implikation A => nicht B, daher kann aus einer falschen Aussage alles abgeleitet werden, oder? Aber wenn das so richtig ist, was ich schreibe, warum ist die Wahrheitstabelle der Implikation gerade so definiert, das muss doch einen speziellen Grund haben, oder?

[Abischai]

Deine Relationszeichen "=>" sind nicht eindeutig, vokalisiere die lieber. Ich habe bei der Schreibweise gar nichts verstanden.
Erkläre Deine Aufgabe mal jemandem, der nicht mal weiß, was eine Wahrheitstabelle ist, dann wirst Du auch verstanden.

[JackSparrow]

Aber wenn das so richtig ist, was ich schreibe, warum ist die Wahrheitstabelle der Implikation gerade so definiert, das muss doch einen speziellen Grund haben, oder?

A => B bedeutet dass immer dann, wenn A wahr ist, auch B wahr ist.

A => B macht keine Aussage darüber, ob B wahr oder falsch ist, wenn A nicht wahr ist. Deshalb folgt aus nicht wahrem A ein beliebiges B.

Mit der Wahrheitstabelle hat das nichs zu tun. Die Wahrheitstabelle bezieht sich auf den gesamten Term A => B, und der ist immer dann nicht wahr, wenn nicht gilt, dass immer dann, wenn A wahr ist, auch B wahr ist.

[CoolLesterSmooth]

Um die Frage des Threadtitels zu beantworten: Weil es egal ist. Wenn eine Prämisse falsch ist, kannst du daraus folgern was du möchtest, es ist hinfällig, da eben die Prämisse falsch ist. Du kannst mir einen dicken Wälzer mit dem Titel "Was ich aus 4 < 3 gefolgert habe" vor die Füße knallen und ich werde ihn nicht lesen, da 4 < 3 nun einmal falsch ist und es daher komplett egal ist, was du daraus gefolgert hast.

Um die Werte der Wahrheitstabelle besser nachvollziehen zu können, kann es helfen, wenn du A->B einmal umformulierst.
Als Beispiel:
Aussage A: "Du bekommst in der Klausur weniger als 50% der Punkte."
Aussage B: "Du fällst durch."
Implikation A->B: "Wenn du in der Klausur weniger als 50% der Punkte bekommst, dann fällst du durch."
Diese Implikation kannst du auch umformulieren: "Entweder du hast nicht weniger als 50% (also mindestens 50%) der Punkte oder du fällst durch"
D.h. die Implikation A->B lässt sich auch so ausdrücken: ¬A v B
Deine Tabelle sieht dann so aus:
A|B|¬A v B
F|F|T
F|T|T
T|F|F
T|T|T
Vielleicht ist jetzt klarer, warum die Implikation A->B für ein falsches A immer wahr ist, ganz egal welchen Wert B hat.

[Abischai]

Ich bin froh, daß Du da Licht reingebracht hast. Ich habe früher mal sehr behend mit dem Karnaugh-Plan umgehen können, habs irgendwie vergessen, braucht man so selten. Daher hat mich diese Frage jetzt ein bisschen gewurmt, weil sie mir unplausibel erschien.

[Pinguin87]

Hi CoolLesterSmooth,

danke für die Antwort. Aber müsste nicht das "Entweder" bei Dir in

Diese Implikation kannst du auch umformulieren: "Entweder du hast nicht weniger als 50% (also mindestens 50%) der Punkte oder du fällst durch"

weg? Mit "Entweder" wäre es doch ein "exklusives Oder", stimmt das?

[Janina]

Ein wenig Recherche im Internet von mir hat aber ergeben, dass aus einer falschen Aussage sich alles mögliche ableiten lässt

Das ist eine Fehlinterpretation der Implikation.
Wenn du eine Implikation feststellen willst, wie z.B. bei einer Wirksamkeitsstudie, dann musst du lediglich darauf achten, ob der Fall 3 (w => f) vorkommt. Wenn, dann besteht keine Implikation.
Und natürlich ist die Welt nicht schwarzweiß, es besteht auch eine Wirkung, wenn Fall 3 statistisch signifikant weniger vorkommt. Dafür braucht es dann randomisierte doppelverblindete ...etc. Studien.

[JackSparrow]

Mit "Entweder" wäre es doch ein "exklusives Oder", stimmt das?

Es ist ein inklusives Oder:
A|B|¬A v B
F|T|T

Wenn du weniger als 50 % schaffst, dann fällst du durch. Wenn du nicht weniger als 50 % schaffst, dann fällst du entweder durch oder du fällst nicht durch, denn aus falschem A folgt beliebiges B.