seeadler hat geschrieben:Wenn ich das nun richtig verstanden habe mit der gravitativen Zeitdilatation, so wird diese lediglich mit vb²/c² gerechnet, also kurzum nur die Gravitationsfeldstärke ins verhältnis zur Lichtgeschwindigkeit gesetzt?!
Die gravitative Zeitdilatation in Schwarzschildkoordinaten wird aus rs/r = 2 G M / (r c²) errechnet, also wird da, wenn man so will, r ins Verhältnis zu rs gesetzt, oder auch 2 G M / r ins Verhältnis zu c².
seeadler hat geschrieben:Deshalb haben wir hier auf der Erdoberfläche - und jetzt kommt das eigentliche Problem für mich - wie auch generell für jeden Körper, auf dem eine Geschwindigkeit von 7908 m/s notwendig ist, um in entsprechender Höhe des Körpers aus +g gleich - g werden zu lassen, wodurch dann in besagter Höhe eine relative Schwerelosigkeit erreicht werden kann. Hier auf der Erdoberfläche sind dies demnach 7*10^-10 Sekunden pro Sekunde Zeitunterschied gegenüber einem relativ gravitationsfreien Raum. Also erleben wir schon auf der Erde eine relative Verlängerung der Lebens-Zeit durch die gegebene Gravitation von 7*10^-10 Sekunden pro Sekunde. Nur, dies würden wir dann auch auf jedem anderen beliebigen Körper erfahren, wo im gegebenen Abstand diese Geschwindigkeit 7908 m/s notwendig ist. Genau genommen - wie gesagt, wenn ich dies jetzt richtig verstanden habe, spielt dabei die Schwerebeschleunigung eben nicht die entscheidende Rolle dabei: Denn hier auf der Erde ist sie zwar (7908m/s)² / 6378500 m = 9,805 m/s²; wenn aber der betreffende Körper vielleicht gerade mal einen Radius von 3000 km hat, und in diesem ebenfalls 7908 m/s erreicht werden müssen, so gilt auf diesem aber eine Schwerebeschleunigung von (7908m/s)² / 3000000 m = 20,85 m/s², trotzdem aber würde man dort ebenfalls lediglich eine erweiterte Zeitspanne von 7*10^-10 Sekunden pro Sekunde gewinnen können.
Für die gravitative Zeitdilatation in Schwarzschildkoordinaten ist die Größe rs/r = 2 G M /(r c²) entscheidend, nicht die Schwerebeschleunigung, ganz recht.
seeadler hat geschrieben:Denn auch hier wie beim Lorentzfaktor spielt der Quotient aus v²/c² die entscheidende Rolle.
Nein, die entscheidende Rolle spielt die Größe rs/r = 2 G M / (r c²). Außer in Spezialfällen, wie z.B. einem Körper auf einer gravitativ gebundenen Umlaufbahn, ist v von 2 G M / r unabhängig.
seeadler hat geschrieben:Bevor ich es aber vergesse, du hattest mich auf den merkwürdigen Umstand aufmerksam gemacht, dass im Falle eines Schwarzen Lochs die Kreisbahngeschwindigkeit schon beim 1,5-fachen Radius des Schwarzschildradius c wäre
Nein, ich hatte dich auf den Umstand aufmerksam gemacht, dass das so ist, nicht auf den
merkwürdigen Umstand. Merkwürdig ist an diesem Umstand nichts. Jedenfalls nicht, wenn man nicht gerade der voreingenommenen Vorstellung anhängt, die Newtonsche Theorie sei das "Normale", und alles von ihr abweichende sei "merkwürdig". Denn es ist eher anders herum: die ART ist erwiesermaßen die allgemeingültigere Theorie, also ist wenn überhaupt die ART das Normale, und von der ART abweichende Aussagen der Newtonschen Theorie sind merkwürdig.
seeadler hat geschrieben:Gerade eben lese ich diesen ebenso merkwürdigen Sachverhalt in Wikipedia, wo steht, dass exakt im 1,5-fachen Erdradius die beiden Zeidilatationsberechnungen einmal bezogen auf die Gravitation, und einmal bezogen auf die Geschwindigkeit sich exakt aufheben würden, siehe hier
Auch an diesem Sachverhalt ist nichts merkwürdig.
seeadler hat geschrieben:Das heißt doch, jener Umstand, der hier beschrieben wird, gilt ebenfalls für jeden beliebigen Körper, wenn man den jeweiligen Radius dann mit dem 1,5-fachen Radius vergleicht?! So gesehen kann ich dies auch mit der Erdbahnhöhe von 150 Millionen km bis zur Sonne wiederum mit dem Abstand von 150 Mio km * 1,5 = 225 Millionen km, also exakt dem Abstand des Mars miteinander vergleichen?! Auch hier trifft doch denn diese Aussage zu?!
Es wird gerade hierbei sogar noch besser. denn dies müsste dann auch umgekehrt so sein, also in einem Abstand von 150 Mio km / 1,5 = 100 Millionen km, also fast exakt im Abstand der Venus?!
Wie wir bereits gesehen haben, gilt für die Eigenzeit einer Uhr auf einer Kreisbahn mit dem Radius r = r2
dτ2 = √(1 - rs/r2 - v²/c²) dt
wobei v = r2 dφ/dt die Geschwindigkeit der Uhr bemessen in der Koordinatenzeit t ist. Nun gehst du davon aus, dass die Geschwindigkeit v gleich der Kreisbahngeschwindigkeit vb ist, für die vb(r) = √(G M / r) gilt. Wir setzen für v also vb(r2) ein:
dτ2 = √(1 - rs/r2 - vb(r2)²/c²) dt
= √(1 - rs/r2 - G M (r2 c²)) dt
= √(1 - 3/2 rs/r2) dt
Zum Vergleich nehmen wir eine zweite Uhr, die bei r = r1 ruht. Für deren Eigenzeit gilt
dτ1 = √(1 - rs/r1) dt
Man kann leicht erkennen, dass genau dann dÏ„1 = dÏ„2 ist, beide Uhren also gleich schnell gehen, wenn r2 = 3/2 r1 ist, die auf der Kreisbahn bewegte Uhr somit 1,5-mal soweit vom Gravitationszentrum entfernt ist wie die ruhende Uhr. Würde man also eine Uhr auf dem Mars mit einer Uhr vergleichen, die die gleiche Entfernung von der Sonne hat wie die Erde, aber anders als die Erde nicht die Sonne umläuft, sondern ruht, so würden beiden Uhren gleich schnell gehen (sofern man nur die Gravitation der Sonne berücksichtigt und die des Mars vernachlässigt).
Wir hatten ja bereits darüber gesprochen, dass bei starken Gravitationsfeldern die Kreisbahngeschwindigkeit größer ist als in der Newtonschen Theorie, und zwar den Wert √(G M / r) / √(1 - rs/r) hat. Das gilt allerdings für die Kreisbahngeschwindigkeit in der Eigenzeit eines lokalen, ruhenden Beobachters bemessen. Diese wiederum ist gegenüber der Koordinatenzeit um den Faktor √(1 - rs/r) zeitdilatiert. In der Koordinatenzeit bemessen kommt damit für die Kreisbahngeschwindigkeit vb = r dφ/dt wieder das Newtonsche Ergebnis vb = √(G M / r) heraus, dafür ist dann die Fluchtgeschwindigkeit kleiner als in der Newtonschen Theorie und geht für r -> rs gegen 0.
seeadler hat geschrieben:Ergo hat jene Formel, auf die du mich aufmerksam gemacht hast
Agent Scullie hat geschrieben:seeadler hat geschrieben:
Wie ich schon sagte, erkenne ich eine solche Gemeinsamkeit auch zwischen dem Lorentzfaktor und jenem Faktor 1 / √ [1- (rs/r)] zur Bestimmung der Kreisbahngeschwindigkeit
Das erkennst du aber eben zu unrecht, weil du nur einen sehr speziellen Fall betrachtest.
sehr wohl etwas mit jenem Faktor v²/c² zu tun, denn im 1,5-fachen Radius beliebiger Größe wird nun mal die Geschwindigkeit v0/ √2 erreicht
Nur dann, wenn du den Spezialfall betrachtest, dass sich ein Körper mit der Kreisbahngeschwindigkeit bewegt. Die gravitative Zeitdilatation wirkt sich aber auch auf Körper aus, die sich nicht mit Kreisbahngeschwindigkeit bewegen, sondern z.B. ruhen. Sogar in der von dir betrachteten Situation ruht eine der beiden Uhren, bewegt sich also nicht mit Kreisbahngeschwindigkeit.
seeadler hat geschrieben:Generell bei 1,5 Radien gegenüber dem Ausgangsradius heben sich beide Prozesse gegenseitig auf.
Nur in dem Spezialfall, dass am Ausgangsradius die Geschwindigkeit 0 ist, am um den Faktor 1,5 vergrößerten Radius die Geschwindigkeit hingegen gleich der dortigen Kreisbahngeschwindigkeit.